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《课堂新坐标》2018版高考数学(人教A版理)一轮复习热点探究训练6概率与统计中的高考热点问题Word版含解析

热点探究训练(六)

概率与统计中的高考热点问题

1.(2017·邯郸质检)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某

地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:

年份

2012 2013 2014 2015 2016

时间代号 t 1

2

3

4

5

储蓄存款 y

5

6

7

8

10

(千亿元)

^^ ^ (1)求 y 关于 t 的回归方程y=bt+a;

(2)用所求回归方程预测该地区 2017 年(t=6)的人民币储蓄存款.

n

--

附:回归方程^y=b^t+a^中,b^=i∑=1ntiyi-n

t -

y

^ - ^- ,a= y -b t .

i∑=1ti2-n t 2

[解] (1)易求-t =15(1+2+3+4+5)=3,

-y =15i∑=51yi=7.2.2 分

5

--

又i∑=1tiyi-5 t y =120-5×3×7.2=12,

5



i∑=1t2i -5 t 2=55-5×32=10.4 分

5

--

从而b^=i∑=15tiyi-5

t -

y

=1120=1.2,

i∑=1t2i -5 t 2

^ - ^- ∴a= y -b t =7.2-1.2×3=3.6,6 分

^ 故所求回归方程为y=1.2t+3.6.8 分
^ (2)将 t=6 代入回归方程可预测该地区 2017 年的人民币储蓄存款为y= 1.2×6+3.6=10.8(千亿元).12 分 2.(2015·北京卷节选)A,B 两组各有 7 位病人,他们服用某种药物后的康复 时间(单位:天)记录如下: A 组:10,11,12,13,14,15,16; B 组:12,13,15,16,17,14,a. 假设所有病人的康复时间相互独立,从 A,B 两组随机各选 1 人,A 组选出 的人记为甲,B 组选出的人记为乙. (1)求甲的康复时间不少于 14 天的概率; (2)如果 a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率. [解] 设事件 Ai 为“甲是 A 组的第 i 个人”, 事件 Bi 为“乙是 B 组的第 i 个人”,i=1,2,…,7. 由题意可知 P(Ai)=P(Bi)=17,i=1,2,…,7.2 分 (1)由题意知,事件“甲的康复时间不少于 14 天”等价于“甲是 A 组的第 5 人,或者第 6 人,或者第 7 人”,所以甲的康复时间不少于 14 天的概率是 P(A5 ∪A6∪A7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)=37.5 分 (2)设事件 C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”. 由题意知 C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪ A7B6,7 分 因 此 P(C) = P(A4B1) + P(A5B1) + P(A6B1) + P(A7B1) + P(A5B2) + P(A6B2) + P(A7B2)+P(A7B3)+P(A6B6)+P(A7B6)=10P(A4B1)=10P(A4)P(B1)=1409.12 分 3.某高校校庆,各届校友纷至沓来,某班共来了 n 位校友(n>8 且 n∈N*), 其中女校友 6 位,组委会对这 n 位校友登记制作了一份校友名单,现随机从中选 出 2 位校友代表,若选出的 2 位校友是一男一女,则称为“最佳组合”. (1)若随机选出的 2 位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12,求 n 的最大

值;

【导学号:01772434】

(2)当 n=12 时,设选出的 2 位校友代表中女校友人数为 ξ,求 ξ 的分布列和

期望.

[解] (1)设选出 2 人为“最佳组合”记为事件 A,

则事件 A 发生的概率 P(A)=C1nC-62nC16=1n2??nn--16??.2 分

依题意1n2??nn--16??≥12,化简得 n2-25n+144≤0,

∴9≤n≤16,故 n 的最大值为 16.5 分

(2)由题意,ξ 的可能取值为 0,1,2,且 ξ 服从超几何分布, 则 P(ξ=k)=Ck6CC21262-k(k=0,1,2), ∴P(ξ=0)=P(ξ=2)=CC06C21226=252, P(ξ=1)=CC6121C261=161.8 分

ξ0 1 2

P

5 22

6 11

5 22

∴E(ξ)=0×252+1×161+2×252=1.12 分

4.(2017·武汉四校联考)某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关

系,对该校 200 名高三学生平均每天的课外体育锻炼时间进行调查,如下表:(平

均每天锻炼时间的单位:分钟)

平均每天锻炼 的时间(分钟)

[0,10)

[10,20)

[20,30)

[30,40)

[40,50)

[50,60]

人数

20

36

44

50

40

10

将学生日均课外体育锻炼时间在[40,60]内的学生评价为“课外体育达标”.

【导学号:01772435】

(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面 2×2 列联表,并通过计算判断是

否能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“课外体育达标”与性别有关;

课外体育不达标 课外体育达标 总计





20

110

总计

(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该校高三学生中抽取 3 名学

生,记被抽取的 3 名学生中“课外体育达标”的学生人数为 X,若每次抽取的结

果是相互独立的,求 X 的数学期望和方差.

P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k0

2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

参考公式:K2=?a+b??cn+?add-??ab+c?c2??b+d?,其中 n=a+b+c+d.

[解] (1)依题意,得 2×2 的列联表如下:

课外体育不达标 课外体育达标 总计



60

30

90



90

20

110

总计

150

50

200

K2=2001×50?×605×0×209-0×301×1090?2=23030≈6.061<6.635,

所以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下不能判断“课外体育达标”与性

别有关.6 分

(2)易得抽到“课外体育达标”学生的频率为 0.25.

因为将频率视为概率,

所以 X~B???3,14???,

所以 E(X)=3×14=34,D(X)=3×14×34=196.12 分

5.(2016·山东高考)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由

甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得 3 分;如

果只有一人猜对,则“星队”得 1 分;如果两人都没猜对,则“星队”得 0 分.已

知甲每轮猜对的概率是34,乙每轮猜对的概率是23;每轮活动中甲、乙猜对与否互

不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求: (1)“星队”至少猜对 3 个成语的概率; (2)“星队”两轮得分之和 X 的分布列和数学期望 E(X).
[解] (1)记事件 A:“甲第一轮猜对”, 记事件 B:“乙第一轮猜对”, 记事件 C:“甲第二轮猜对”, 记事件 D:“乙第二轮猜对”, 记事件 E:“‘星队’至少猜对 3 个成语”. 由题意,E=ABCD+ A BCD+A B CD+AB C D+ABC D ,2 分 由事件的独立性与互斥性,

P(E) = P(ABCD) + P( A BCD) + P(A B CD) + P(AB C D) + P(ABC D ) =

P(A)P(B)P(C)P(D) + P( A )P(B)P(C)P(D) + P(A)P( B )P(C)P(D) +

P(A)P(B)P(

C

)P(D) + P(A)P(B)P(C)P(

D

)



3 4

×

2 3

×

3 4

×

2 3



2×???14×23×34×23+34×13×34×23???=23,

所以“星队”至少猜对 3 个成语的概率为23.5 分

(2)由题意,随机变量 X 可能的取值为 0,1,2,3,4,6.

由事件的独立性与互斥性,得

P(X=0)=14×13×14×13=1144,

P(X=1)=2×???34×13×14×13+14×23×14×13???

=11404=752,

P(X=2)=34×13×34×13+34×13×14×23+14×23×34×13+14×23×14×23=12454,

P(X=3)=34×23×14×13+14×13×34×23=112,

P(X=4)=2×???34×23×34×13+34×23×14×23???

=16404=152,

P(X=6)=34×23×34×23=13464=14.10 分

可得随机变量 X 的分布列为

X0

1

2

3 46

P

1 144

5 72

25 144

1 12

5 12

1 4

所以数学期望 E(X)=0×1414+1×752+2×12454+3×112+4×152+6×14=

23 6 .12



6.微信是现代生活进行信息交流的重要工具,随机对使用微信的 60 人进行

了统计,得到如下数据统计表,每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为

“微信达人”,不超过两小时的人被定义为“非微信达人”.已知“非微信达

人”与“微信达人”人数比恰为 3∶2.

【导学号:01772436】

使用微信时间(单位:小时) 频数 频率

(0,0.5]

3 0.05

(0.5,1]

x

p

(1,1.5]

9 0.15

(1.5,2]

15 0.25

(2,2.5]

18 0.30

(2.5,3] 合计

y

q

60 1.00

图3 (1)确定 x,y,p,q 的值,并补全频率分布直方图; (2)为进一步了解使用微信对自己的日常工作和生活是否有影响,从“非微 信达人”和“微信达人”60 人中用分层抽样的方法确定 10 人,若需从这 10 人 中随机选取 3 人进行问卷调查,设选取的 3 人中“微信达人”的人数为 X,求 X 的分布列和数学期望. [解] (1)“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为 3∶2,

所以3+x1+8+9+y 15=32,2 分

又 3+x+9+15+18+y=60,

?x=9,

?p=0.15,

解这个方程组得??y=6, 从而可得??q=0.10.

补全频率分布直方图如图所示:

5分

(2)选出的人中,“微信达人”有 4 人,“非微信达人”有 6 人,X 的可能取

值为 0,1,2,3, P(X=0)=CC40·13C0 36=16,P(X=1)=CC14·31C0 26=12, P(X=2)=CC42·13C0 16=130,P(X=3)=CC34·31C0 06=310,10 分 所以 X 的分布列是

X0 1 2 3

P

1 6

1 2

3 10

1 30

所以 X 的数学期望 E(X)=0+12+35+110=65.12 分



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